வர்க்க எண்கள் (Squaring any number close to base)

அடிப்படை எண்களுக்கு அருகாமையிலுள்ள எண்களுக்கான வர்க்கத்தை, "எந்த அளவுக்கு குறைபாடுள்ளதோ அந்த அளவுக்கு குறைக்கவும், பின்பு குறைபாட்டின் வர்க்கத்தை கானவும்" (Whatever the Deficiency lessen by that amount and set up the Square of the Deficiency) என்ற சூத்திரமூலமாக சுலபமாக காணலாம்.

எடுத்துகாட்டுக்கு 98 ன் வர்க்கத்தை காண்போம்,

உதாரணம் 1: (98)2 = 98-2 | 22

98 ன் அடிப்படை எண் (Base Number) 100, எனவே 100-98=2

= 98-2 | 2x2
= 96 | 04 2 x 2 = 04 ; where base is 100.
= 9604

வழிமுறை :

படி 1 : எண் 98 ஆனது 100ஐ அடிப்படை எண்ணாக கொண்டது. எனவே 100 க்கும் 98 க்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 02 ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து 02 ஐ கழிக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (98-02=96).

படி 2 : பிறகு அந்த 2 ன் வர்க்கத்தை கண்டுபிடிக்கவும் கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை. (22=04). கவனிக்க இங்கு அடிப்படை எண் 100 ஆகும், எனவே 04 என்று போட்டுகொள்ளவேண்டும்.


உதாரணம் 2: (9999989)2 = 9999989-11 | 112

9999989 ன் அடிப்படை எண் (Base Number) 10000000, எனவே 10000000-9999989=11

         = 9999989-11 | 11x11
         = 9999978 | 0000121                   11x11=0000121 where base is 10000000.
         = 99999780000121

வழிமுறை

படி 1 : எண் 9999989 ஆனது 10000000 ஐ அடிப்படை எண்ணாக கொண்டது. எனவே 10000000 க்கும் 9999989 க்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 11 ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து 11 ஐ கழிக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (9999989-11=9999978).

படி 2 : பிறகு அந்த 11 ன் வர்க்கத்தை கண்டுபிடிக்கவும் கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை. (112=0000121). கவனிக்க இங்கு அடிப்படை எண் 10000000 ஆகும், எனவே 0000121 என்று போட்டுகொள்ளவேண்டும்.


உதாரணம் 3: (99.8)2 = 998-2 | 22

998 ன் அடிப்படை எண் (Base Number) 1000, எனவே 1000-998=2

         = 998-2 | 2x2
         = 996 | 004                   2x2=004 where base is 1000.
         = 9960.04

வழிமுறை

படி 1 : எண் 998 ஆனது 1000 ஐ அடிப்படை எண்ணாக கொண்டது. எனவே 1000 க்கும் 998 க்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 2 ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து 2 ஐ கழிக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (998-2=996).

படி 2 : பிறகு அந்த 2 ன் வர்க்கத்தை கண்டுபிடிக்கவும் கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை. (22=004). கவனிக்க இங்கு அடிப்படை எண் 1000 ஆகும், எனவே 004 என்று போட்டுகொள்ளவேண்டும்.


உதாரணம் 4: (113)2 = 113+13 | 132

113 ன் அடிப்படை எண் (Base Number) 100, எனவே 100-113=13

         = 113+13 | 13x13
         = 126 | 169                   13x13=169 where base is 100
         = 126|169                     Carry over (126+1=127)
         = 12769

கவனிக்கவும், இதுவரைக்கும் நாம் பார்த்த எண்கள் அடிப்படை எண்ணைவிட குறைவான எண்கள். ஆனால் 113 ஆனது அடிப்படை எண் 100 ஐ விட கூடுதலாக உள்ளது. எனவே கூடுதலாக உள்ள 13 ஐ 113 லிருந்து கழிப்பதற்கு பதிலாக கூட்டவும்.

வழிமுறை

படி 1 : எண் 113 ஆனது 100 ஐ அடிப்படை எண்ணாக கொண்டது. எனவே 100 க்கும் 113 க்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம் 13 ஆகும். எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து 113 ஐ கூட்டவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (113+13=126).

படி 2 : பிறகு அந்த 13 ன் வர்க்கத்தை கண்டுபிடிக்கவும் கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை. (132=169). கவனிக்க இங்கு அடிப்படை எண் 100 ஆகும், எனவே 169 இல் 69 மட்டும் போட்டு விட்டு மீதம் 1 ஐ அடுத்த எண்ணிற்கு carry forward செய்ய வேண்டும். எனவே முதல் விடையானது 126 + 1 = 127 என மாற்றமாகும்.


Algebraic Proof :

( x – y )2 =x2 – 2xy + y2
= x ( x – 2y ) + y2
= x ( x – y – y ) + y2
= Base ( number – deficiency ) + ( deficit )2

(x + y)2 =x2 + 2xy + y2
= x ( x + 2y ) + y2
= x ( x + y + y ) + y2
= Base ( Number + surplus ) + ( surplus)2