மேஜிக் ஒன்பது (Magic Nine)

எண் ஒன்பதை எண்களின் அரசன் என்றும் அழைப்பர். ஓர் எண்ணை 9,99,999.....போன்ற தொடர் எண்களால் பெருக்க "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக" (By One Less than the Previous one) என்கிற சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி விரைவாக காணலாம்.

அ) கொடுக்கப்பட்ட இரு எண்களின் இலக்கங்களும் சமமாக இருந்தால்

உதாரணம் 1: 92 x 99 = ?

92 x 99 இதில் இரு எண்களிலும் இரண்டு இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 92 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 92 - 1 = 91
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 100 லிருந்து 92 ஐ கழிக்க 100 - 92 = 08
= (92 -1 ) / (100 - 92)
= 91 / 08
= 9108

வழிமுறை :

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 92 - 1 = 91 . கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 92 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 100 லிருந்து 92 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (08) இரண்டாவது பாதி விடை.


உதாரணம் 2: 777 x 999 = ?

777 x 999 இதில் இரு எண்களிலும் மூன்று இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 777 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 777 - 1 = 776
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 1000 லிருந்து 777 ஐ கழிக்க 1000 - 777 = 223
= (777 -1 ) / (1000 - 777)
= 776 / 223
= 776223

வழிமுறை :

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 777 - 1 = 776 . கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 777 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 1000 லிருந்து 777 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (223) இரண்டாவது பாதி விடை.


உதாரணம் 3: 1203579 x 9999999 = ?

1203579 x 9999999 இதில் இரு எண்களிலும் ஏழு இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 1203579 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 1203579 - 1 = 1203578
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 10000000 லிருந்து 1203579 ஐ கழிக்க 10000000 - 1203579 = 8796421
= (1203579 -1 ) / (10000000 - 1203579)
= 1203578 / 8796421
= 12035788796421

வழிமுறை :

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 1203579 - 1 = 1203578. கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 1203579 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 10000000 லிருந்து 1203579 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (8796421) இரண்டாவது பாதி விடை.


உதாரணம் 4: 4.32 x 9.9 = ?

பின்ன எண்களையும் மேற்கண்டவாறு கணக்கிடமுடியும்.

4.32 x 9.99 இதில் இரு எண்களிலும் மூன்று இலக்கங்கள் உள்ளது. 4.32 x 9.99 இதை 432 x 999 என மாற்றிக்கொள்ளவும்.

இடது பக்க விடை : 432 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 432 - 1 = 431
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 1000 லிருந்து 432 ஐ கழிக்க 1000 - 432 = 568
= (432 - 1) / (1000 - 432 )
= 431/ 568
= 431568
= 43.1568       கிடைக்கும் விடையில் நான்கு ஸ்தானம் தள்ளி புள்ளி வைக்கவும்.

வழிமுறை :

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 432 - 1 = 431. கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 432 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 1000 லிருந்து 432 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (568) இரண்டாவது பாதி விடை.

உதாரணம் 5: 8575039583283492848343 x 9999999999999999999999 = ?

8575039583283492848343 x 9999999999999999999999 இதில் இரு எண்களிலும் 22 இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 432 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 8575039583283492848343 - 1 = 8575039583283492848342
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 10000000000000000000000 லிருந்து 8575039583283492848343 ஐ கழிக்க 10000000000000000000000 - 8575039583283492848343 = 1424960416716507151657. (We can use "All from 9 last from 10 formula")
= (8575039583283492848343 - 1) / (10000000000000000000000 - 8575039583283492848343)
= 8575039583283492848342 / 1424960416716507151657
= 85750395832834928483421424960416716507151657

வழிமுறை :

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 432 - 1 = 431. கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 432 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 1000 லிருந்து 432 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (568) இரண்டாவது பாதி விடை.

ஆ) முதல் எண்ணின் இலக்கத்தைவிட தொடர் எண் 9 இன் இலக்கங்கள் அதிகமாக இருந்தால்

762 x 99999 இதில் முதல் எண் மூன்று இலக்கங்களையும், இரண்டாவது எண் ஐந்து இலக்கங்களையும் கொண்டுள்ளது. எனவே இதை 00762 x 99999 எழுதிக்கொள்ளலாம். பிறகு முதலில் பார்த்த வழிமுறையையே கையாளலாம்.


உதாரணம் 1: 62 x 99999

00762 x 99999 இதில் இரு எண்களிலும் ஐந்து இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 00762 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 00762 - 1 = 00761
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 100000 லிருந்து 00762 ஐ கழிக்க 100000 - 00762 = 99238
= (00762 - 1) / (100000 - 00762)
= 00761 / 99238
= 76199238

வழிமுறை

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 00762 - 1 = 00761. கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 00762 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 100000 லிருந்து 00762 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (99238) இரண்டாவது பாதி விடை.


உதாரணம் 2 : 3.2 x 9.999

3.2 x 9.999 இதில் இடது எண்ணில் இரு இலக்கமும், வலது எண்ணில் நான்கு இலக்கங்களும் உள்ளது எனவே இதை 0032 x 9999 என இரு பக்கமும் சமமாக எழுதிக்கொள்ளவும்.

0032 x 9999 இதில் இரு எண்களிலும் நான்கு இலக்கங்கள் உள்ளது.

இடது பக்க விடை : 0032 லிருந்து 1 ஐ கழிக்க ("முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 0032 - 1 = 0031
வலது பக்க விடை : அடிப்படை எண் 10000 லிருந்து 0032 ஐ கழிக்க 10000 - 0032 = 9968
= (0032 - 1) / (10000 - 0032 )
= 0031 / 9968
= 319968
= 31.9968

வழிமுறை

படி 1 : முதல் எண்ணிலிருந்து 1 ஐ கழிக்க (இடது பக்க எண்ணிலிருந்து "முன்னதை விட ஒன்று குறைவாக") 0032 - 1 = 0031. கிடைப்பது முதல் பாதி விடை.

படி 2 : 0032 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 10000 லிருந்து 0032 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (9968) இரண்டாவது பாதி விடை.

இ) முதல் எண்ணின் இலக்கத்தைவிட தொடர் எண் 9 இன் இலக்கங்கள் குறைவாக இருந்தால்

465 x 99 இதில் முதல் எண் மூன்று இலக்கங்களையும், இரண்டாவது எண் இரண்டு இலக்கங்களையும் கொண்டுள்ளது.

உதாரணம் 1: 465 x 99

=465 x 99                      (4 + 1 = 5 )
=(465 - 5) / (100 - 65)
=460/35
=46035

வழிமுறை

படி 1 : முதலில் இரண்டாவது எண்ணில் எத்தனை இலக்கங்கள் உள்ளதோ அத்தனை இலக்கங்களை முதல் எண்ணின் வலது பக்கதிலிருந்து அடிக்கோடிடவும். (465).

படி 2 : அடிக்கோடிட்ட இலக்கத்தை தவிர்த்து கிடைக்கும் இலக்கத்துடன் 1 ஐக் கூட்டவும்.
(4 + 1 = 5 )

படி 3 : படி 2ல் கிடைத்த எண்ணை முதல் எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும், கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (465 - 5 = 460)

படி 4 : அடிக்கோடிட்ட இலக்கமான 65 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 100 லிருந்து 65 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (35) இரண்டாவது பாதி விடை


உதாரணம் 2: 7298 x 999 = ?

=7298 x 999                      (7 + 1 = 8 )
=(7298 - 8) / (1000 - 298)
=7290/702
=7290702

வழிமுறை

படி 1 : முதலில் இரண்டாவது எண்ணில் எத்தனை இலக்கங்கள் உள்ளதோ அத்தனை இலக்கங்களை முதல் எண்ணின் வலது பக்கதிலிருந்து அடிக்கோடிடவும். (7298)

படி 2 : அடிக்கோடிட்ட இலக்கத்தை தவிர்த்து கிடைக்கும் இலக்கத்துடன் 1 ஐக் கூட்டவும்.
(7 + 1 = 8 )

படி 3 : படி 2ல் கிடைத்த எண்ணை முதல் எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும், கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (7298 - 8 = 7290)

படி 4 : அடிக்கோடிட்ட இலக்கமான 298 இன் அடிப்படை எண்ணான (Base Number) 1000 லிருந்து 298 ஐ கழிக்க கிடைப்பது (702) இரண்டாவது பாதி விடை